量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不发生 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆定理”。本文证明你这种 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态时需 都时需克隆的,证明原先量子态可克隆的条件为,实际上认为量子态都时需克隆,“量子态不可克隆定理”名不符确实。本文进一步证明,发生无穷多的满足你这种 有一一八个条件,或者 “量子态不可克隆定理”应当改为“量子态可克隆定理”。2.表示有一一八个正交的量子态都时需克隆,对于的非正交态的情况报告,现有理论那么讨论,本文完整篇 讨论你这种 情况报告。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态都时需按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总都时需找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆的条件。4. 量子克隆算符对波函数叠加态作用,会是因为自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却都时需将纯态波函数变加带任意波函数,原先的算符不是因为发生。5. 量子态克隆的真正大难题不在 于理论上与非 要能克隆,而在于克隆过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你这种 不是因为性与“量子态不可克隆定理”的证明无关。6. 极少量实验证明,微观粒子的单量子态时需 都时需克隆的,说量子态不可克隆毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的时需 光子的单个偏振态,它们时需 都时需克隆的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆定理”是有一一八个概念含糊、矛盾重重、完整篇 错误的命题。建立在你这种 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不发生。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆算符,量子态不可克隆定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你这种 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现发生一点大难题。“量子态不可克隆定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不发生的。

  从“量子态不可克隆定理”的证明过程都时需看出,该定理的前提是假定任意量子态都都时需克隆。或者 给出另外有一一八个量子态都时需克隆的条件为,不满足你这种 个条件的态才是不可克隆的。代表有一一八个态正交,表示有一一八个态不正交,它们时需 都时需克隆的。或者 “量子态不可克隆定理”名不符确实!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆算符定义,对于任意量子态,发生无穷多的满足的条件。对于的情况报告,现有理论认为它是因为,是有一一八个平庸解,那么讨论价值。本文指出并不一定是因为,并对你这种 情况报告进行完整篇 讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都都时需表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总都时需找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆条件。或者 “量子态不可克隆定理”实际上应当改成“量子态不可克隆定理”。

  一点文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆定理”,然而对什么是未知的量子态,却那么明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆定理”的说法在字面上也不有大难题的,是因为有一一八个量子态是未知的,问你原型和模板,又怎么能么要能克隆呢?比如对于叠加态,是因为已知,你这种 态就已知。是因为任意,你这种 态就未知。要克隆你这种 态首先时需知道。这是先决条件,未知态不可克隆的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆算符的定义,即使未知,仍然都时需找到无穷多的,使之满足的条件,或者 “未知量子态不可克隆定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆算符对波函数叠加态作用,会是因为自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你这种 算符作用在有一一八个纯态上,却都时需将它变成任意波函数,原先的算符是不发生的。事实上量子克隆算符也不有一一八个抽象符号,那么具体形式。是因为其定义是自相矛盾的,在数学上根本不是因为找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都时需有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆的真正大难题不在 于理论上与非 要能克隆,而在于克隆过程怎么能能输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量是因为波函数崩塌。量子态克隆过程首先时需输入量子态,而输入过程也都时需看成有有一种测量操作。或者 量子叠加态是不可输入的,是因为一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你这种 意义上,谈论线性叠加态的克隆是那么意义,但它与“量子态不可克隆定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆定理”显然与事实不符。极少量实验证明,微观粒子的单量子态时需 都时需克隆的。激光器不但要能克隆单个光子,或者 要能大批量地克隆各种光子。连续光谱激光器不但都时需克隆有有一种单光子,或者 都时需通过调整参数,来极少量克隆各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就是因为是有一一八个相当性成熟图片 图片 是什么图片 图片 图片 的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的时需 光子的单个偏振态,而时需 所谓的线性叠加态,它们时需 都时需克隆的。然而“量子态不可克隆定理”给人的一般印象却是,任何量子态时需 可克隆,这是不真实的。

  实际量子态的克隆涉及相互作用,是有一一八个非常僵化 的过程,时需 用Wootters定义的你这种 简单算符就能表示的。“量子态不可克隆定理”是有一一八个概念含糊、矛盾重重、完整篇 错误的命题,不但毫无意义,或者 严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  或者 本文的结论是,“量子态不可克隆定理”不成立,量子通讯所谓的具与非 条件保密性的物理学基础不发生。

  二.“量子态不可克隆定理”的证明

  “量子态不可克隆定理”的证明确实非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆模板的粒子发生任意态,另外有一一八个粒子发生标准的纯态。Wootters和Zurek引入有一一八个克隆量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式怎么能能,Wootters那么说明,可不需要能要能 根据具体的情况报告选则。与图片复印的过程比较,算符至少复印机,至少要复印的图片,至少白纸。

  采用相同的纯态,将克隆算符对另外有一一八个任意态作用,按照(1)式时需 :

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有一一八个解,。因怎么能儿 个条件满足,就都时需克隆。是因为不满足,就不可克隆。现有理论讨论了的情况报告,对的情况报告那么讨论,本文重点对的情况报告进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态都时需克隆。即发生有一一八个算符,都时需把纯态变成态,或者 讨论在什么情况报告下都时需克隆的大难题。是因为正交态是都时需克隆的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆机,它要能克隆 态,就一定要能克隆与态正交的态,但可不需要能 克隆与不正交一起又有的态。

  或者 按照你这种 证明,量子态时需 不都时需克隆,也不有选则性地克隆。对于不同的量子态,时需不同的克隆机,我们歌词 我们歌词 都时需制造不同的克隆机,来克隆不同的量子态。或者 所谓的“量子态不可克隆定理”名不符确实,实际上应当改成“通用量子态克隆机不发生定理”。

  三.“量子态不可克隆定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆算符对波函数的作用满足以下关系:

这是因为不改变任意波函数,即,但却都时需将纯态波函数变成,即是因为是不变算符,即。是因为也是任意的,与都时需完整篇 不一样,是因为时需 不变算符,应当将写为:

是因为,时需 ,或者 量子克隆算符的定义自相矛盾,是不是因为发生的。

  我们歌词 我们歌词 都时需举有一一八个具体的例子。假设要克隆氢原子的第一激发态,有一一八个合理的做法也不,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

是因为式正交的,按照(2)的定义,是都时需克隆的,克隆过程是:

显然不是因为找到有一一八个算符,能使 一起成立,或者 (8)式不是因为成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较僵化 。要将有一一八个纯态波函数变成另外有一一八个波函数保持不变,又都时需将任意纯态波函数变成态波函数。在你这种 算符基础上证明“量子态不可克隆定理”是那么意义的。

  3. 2 量子态克隆算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也是因为不成立。举有一一八个简单例子,氢原子的跃迁过程满足一点禁戒规则,比如角量子数和磁量子数时需满足。或者 从基态到诸如的激发态是不是因为的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是都时需克隆的。

  事实上,量子态的克隆是有一一八个非常僵化 的大难题,根本不是因为通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆定理”毫无意义。

  3. 2 发生无穷多的可克隆非正交态

  以下证明对于,仍然都时需有。按照(4)式,你这种 非正交态仍然都时需克隆。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下有一一八个基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选则本征值的本征函数发生正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上都时需严格证明,任意量子力学定态波函数都都时需表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上有一一八个性质,我们歌词 我们歌词 来重新讨论“量子态不可克隆定理”的证明。将系统的任意有一一八个波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

是因为,(13)式变成:

要使(14)式成立,时需:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数是因为是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余有一一八个方程,有一一八个未知数,唯一选则。解方程得。或者 对于的情况报告,对于任意波函数,总都时需找到另外有一一八个波函数与它正交。按照Wootters对克隆算符的定义,它们时需 都时需克隆的。

  对于的情况报告,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余有一一八个方程,选则有一一八个未知数,时需 无穷多种措施。也也不说对于,都时需与非 穷多个与之正交,因而通用量子态克隆机发生。

  对于不正交,的情况报告,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的有一一八个方程解得,或者 可不需要能要能 才是因为。是因为你这种 态都时需克隆,但一台克隆机可不需要能要能 克隆有一一八个量子态。

  对的情况报告,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的有一一八个方程,选则有一一八个未知数,原则上与非 穷多个解。是因为它们都要能满足(4)和(16)式,按照定义时需 都时需克隆的。

  以下举有一一八个具体例子,比如,从第有一一八个式子得到。选则,按照(20)式,可得以下波函数:

你这种 个波函数是非正交的,但仍然满足可克隆条件,都时需用同一台克隆机克隆。

  任意选则的值,都时需得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况报告下,“量子态不可克隆定理”不成立。我们歌词 我们歌词 总都时需找到无穷多的,使它们满足可克隆的条件。

  3. 3 克隆算符作用于线性叠加态是因为矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是都时需克隆的。在(4)式的导出过程中,都时需是单态,也都时需是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆算符作用其上,都时需得到有有一种结果。第有有一种是克隆算符先对单个态作用,即:

第二种克隆算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是都时需实现的,理由是基矢都时需克隆的。(24)式则是不可实现,但那么说明是因为。

  你这种 看法确实有点儿道理,但那么找到大难题的本质。是因为按照克隆算符的定义,以上有有一种计算措施时需 合理的。我们歌词 我们歌词 可不需要能 说哪有有一种对哪有有一种错,从逻辑上也都时需认为(24)式那么错。事实上,(11)、(21)和(22)式时需 叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们时需 都时需克隆的。

  以下来讨论(24)式不是因为成立的是因为。都时需将(24)式看成克隆算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,要能测量的是波函数的平方,时需 :

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不是因为改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然发生。产生大难题的本质是因为在于,如前文所述,克隆算符的定义(1)式有有一种也不矛盾的。你这种 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用也不有一一八个例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆大难题,时需先了解线性叠加态的真结构理意义。量子力专学 有一一八个统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由有一一八个态组成,总出 的几率是态总出 的几率是。它并不是因为有一一八个态都时需一起总出 ,也不认为在任意时刻只总出 其中的有一一八个态。

  比如对于氢原子中的有一一八个电子,它不是因为一起即发生基态,又发生第一激发态。你这种 个情况报告发生能量差,从基态进入激发态是时需能量输入的。我们歌词 我们歌词 不是因为一起克隆氢原子的你这种 个态,可不需要能要能 克隆其中的有一一八个态。在你这种 意义上,谈论线性叠加态的克隆有有一种也不那么意义的。

  是因为按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的有一一八个态。比如对于叠加态,任何单次测量可不需要能要能 得到其中的有一一八个态,不是因为一起得到有一一八个态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  或者 量子态克隆真正的大难题在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的厚度,为了要能克隆有一一八个量子叠加态,首先时需进行测量,以了解你这种 态的情况报告。克隆过程时需输入和输出量子态,而输入和输出也都时需看成是有有一种测量。是因为测量是因为叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不是因为的。

  在实际的过程中,量子态的克隆涉及僵化 的相互作用,时需 用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆定理”发生不多的大难题,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上时需 都时需用克隆的,我们歌词 我们歌词 应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选则本征值的单态时需 可克隆的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆将得到其中的有一一八个单态,多次克隆结果得到态的几率为

  可不需要能要能 原先理解,要能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆算符有有一种也不自相矛盾的。将克隆算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却都时需将变成任意。你这种 自相矛盾的算符在数学上是不是因为发生的,是因为“量子态不可克隆定理”成为有一一八个含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆算符的定义,满足的量子态时需 都时需克隆的。而在实际的过程中,满足你这种 个条件的量子态却并可不需要能 够克隆。或者 “量子态不可克隆定理”不发生。

  是因为考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总都时需找到有一一八个波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了都时需找到无数的波函数与它正交外,还都时需找到无数个波函数,使它们的积分满足。或者 “量子态不可克隆定理”实际上应当称为“量子态可克隆定理”。

  将克隆算符作用到量子叠加态,会是因为矛盾的结果。这并不是因为叠加态不可克隆,也不克隆算符的定义有有一种有大难题。量子态克隆的真正大难题在于,叠加态的输入和输出是不是因为的,你这种 不是因为性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看多中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释大难题”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…我们歌词 我们歌词 迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你这种 二元情况报告不仅带来认识论方面的误导,或者 措施备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的大难题”,物理学家时需“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,防止量子观念的滥用是因为的认识论上的大难题和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你这种 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是有一一八个科学哲学大难题,但现在它是因为时需 纯理论大难题。它是因为越界进入技术领域,或者 深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都都时需看多哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有一一八个奇怪的说法,即有一一八个量子态在那么被测量也不我们歌词 我们歌词 对它什么也要能说。它是发生叠加态,而时需 选则态。波尔有句名言:有一一八个大难题在那么被观察也不可不需要能 说是有一一八个大难题。具体地说,对于有一一八个自旋为的粒子,在那么进行测量也不,可不需要能 说它的自旋为。是因为按照波函数的叠加公式,它或许是因为发生态。再比如对于有一一八个水平偏振的光子,在那么被测量也不,我们歌词 我们歌词 可不需要能 说它是水平偏振的,是因为按照波函数的线性叠加公式,它是因为是垂直偏振。你这种 看法与实际完整篇 不符,它是因为破坏物理守恒规律,是因为荒诞的结果。

  比如甲向乙发射有一一八个自旋为粒子,乙方接受到的一定是有一一八个自旋为的粒子。是因为角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不是因为改变的。同样,甲向乙发射有一一八个水平偏振的光子,是因为乙用水平偏振器测量,你这种 光子时需通过,说明你这种 光子的偏振在运动过程中那么改变。是因为是光的偏振方向也不电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不需要改变。是因为用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。是因为是偏振器使光子的电场方向改变,而时需 该光子那么选则的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是极少量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的有一一八个系统。在任意时刻,量子体系要么发生态,要么发生情况报告,不是因为即发生情况报告又发生情况报告,也不是因为一起发生态。或者 你这种 种生活解释是等价的,也不说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆也是那么意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的时需 单量子态,不是因为是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不是因为是叠加态。“量子态不可克隆定理”是有一一八个完整篇 不靠谱的理论,它把克隆过程用有一一八个那么简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完整篇 不符。在真实的物理学中,要克隆有一一八个量子态涉及僵化 的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿放进 复印机,一按键盘就了事。在什么基本大难题那么搞清楚也不,就声称量子态不可克隆。甚至明明知道单量子态和正交态都时需克隆,明明知道激光器也不光子克隆机,却仍然声称量子态不可克隆,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量也不微观粒子都时需一起发生多重情况报告,用测量是因为波函数崩塌来解释一切。以你这种 完整篇 错误的理论为基础,技术开发必然是因为失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是有一一八个典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯原先重要的事情寄托在你这种 完整篇 不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则是因为是另外有一一八个例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的是因为。按照量子力学的统计系综解释,任多会儿刻有一一八个微观粒子可不需要能要能 发生某个选则的情况报告,不是因为发生叠加态,线性叠加也不有有一种统计平均的表示措施。按照量子力学的测量理论,任多会儿刻有一一八个微观粒子都时需发生叠加态,但测量是因为波函数崩塌。或者 叠加态既可不需要能 输入也要能输出,量子计算机就是因为是有一一八个空头理论上的东西,在现实中难以实现。你这种 大难题类式 与量子计算机的消相干大难题,但又有不同。从技术上说消相干是因为的,但叠加态的输入和输出是不是因为的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称是因为做出量子计算机,或者 时需 真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。我们歌词 我们歌词 是因为也不利用微观粒子的有一一八个分立情况报告做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它也不对传统电子计算机的模拟,而时需 真正利用了叠加态,要能进行叠加态并行计算的量子计算机。也不量子计算机专家是因为还那么认识到你这种 点,是因为说一点人知道你这种 点,但不需要要 说出来罢了。关于你这种 大难题,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,1002-1003.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,1006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释大难题,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.